물리 음향학: 부피 탄성 계수(Bulk modulus), (coefficient A)

아래 음향 파동방정식 유도의 마지막, '선형화 및 결합' 글에서 하나 두고 온 것이 있습니다.

 

물리 음향학: 선형화 및 식 결합 - 음향 파동방정식 유도 마지막

 

그것은 바로 계수(coefficient) A입니다.

 

분명 아래 그림과 같이 A에 대한 설명은 다른 글에서 말씀드리겠다고 명시하였습니다.

 

'선형화 및 실 결합' 글 중 발췌

 

그리고 저는 이제야 돌아왔습니다.

 

많이 늦었으니, 바로 A에 대해 이야기하겠습니다.

 

그럼 시작합니다.

 

음향학에서 부피 탄성 계수(bulk modulus in acoustics)

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A가 처음 등장한 곳은 음향 파동방정식 유도 중 상태방정식에 대한 글이었습니다.

물리 음향학: 상태방정식(equation of state)

 

다시 한번 압력과 밀도의 관계를 테일러 급수(Taylor series)로 전개한 식을 가져오겠습니다.

 

기억이 나시나요? 그리고 A가 보이시나요?

 

먼저, 어떻게 A가 밀도와 제곱된 음속의 곱으로 나타나는지 보겠습니다.

 

상태방정식(equation of state as a Taylor series in the condensation)

 

먼저, 상태방정식을 밀도(ρ)에 대해 미분하겠습니다.

 

좌변은 어떻게 되나요? dP/dρ의 꼴이 나오게 됩니다.

 

기억하시겠지만(https://opee.tistory.com/51), 밀도 변화에 따른 압력 변화(dP/dρ)는 제곱된 음속의 정의입니다.

 

그래서 좌변은 아래 두 번째 식과 같이 음속의 제곱으로 나타나게 됩니다.

 

우변도 똑같이 밀도로 미분을 해줍니다. 참고로 잘 아시겠지만 ρ0과 p0은 상수이니 미분하면 사라집니다.

 

여기서, 밀도의 변화가 매우 작다고 한다면(small signal approximation), 우변에서 계수 B가 포함된 항부터는 모두 없어지게 됩니다.

물리 음향학: 선형화 및 식 결합 - 음향 파동방정식 유도 마지막

 

그러면 음속에 대한 식이 매우 간단해지고, 이를 A에 대한 식으로 나타내면 밀도와 제곱된 음속의 곱이 나타나게 됩니다.

 

이 정의를 음향 파동방정식 유도에 사용한 것입니다.

 

음향학에서 부피 탄성 계수(bulk modulus in acoustics)

 

음향 파동방정식 유도에서 갑자기 나타난 A의 정의는 이렇게 유도되었습니다.

 

그런데, A는 정확히 무엇일까요?

 

상태방정식에서 계수 B가 포함된 항을 포함하여 그 뒤를 모두 제거하고, A에 대한 식으로 아래와 같이 나타내보겠습니다.

 

아래 식을 보고 감이 있으신 분들은 금방 아시겠지만, 이는 부피 탄성 계수(bulk modulus)의 정의입니다.

(*엄밀하게 여기서의 bulk modulus는 adiabatic bulk modulus입니다.)

 

부피 탄성 계수는 압력에 대해 저항하는 정도를 나타내는 물리량입니다.

 

따라서, 결과적으로 음향학에서 밀도(ρ)와 제곱된 음속의 곱은 부피 탄성 계수를 의미합니다.

[*참고로 그 역수는 압축률(compressibility)입니다.]

 

음향학에서 부피 탄성 계수(bulk modulus in acoustics)

 

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오랜만에 물리 음향학에 관련된 글을 작성했습니다.

 

박사 졸업을 핑계로 1년을 넘게 글을 쓰지 않았던 것 같습니다.

 

오랜만에 글을 쓰니, 처음 쓰는 것처럼 많이 어색했습니다.

 

다시 열심히 해보려고 합니다.

 

마지막으로 A에 대해 질문해주신 김말이님께 감사의 말씀과, 답변이 늦어 죄송하다는 말씀드립니다.

 

감사합니다.

 

오피쓴 올림

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)