물리 음향학: 상태방정식(equation of state)

 

음향 파동방정식을 유도하기 위한 세 번째 단계는 상태방정식(equation of state)입니다.

 

상태방정식은 열역학(thermodynamics)에서 자세히 다루어집니다.

 

따라서, 오늘 글에는 열역학 내용이 많은 담겨 있습니다.

 

열역학을 접해보지 못한 분들을 위해, 최대한 글을 간단하고 명료하게 쓰려 노력했습니다.

 

여러분들도 글을 읽으실 때, 수학같은 것보다는 전체적인 흐름을 이해하시려 하면 좀 더 읽기 수월할 것입니다.

 

심지어 음향 파동방정식 유도를 위한 상태방정식 최종식에 도달하는 수학은 생략하였습니다.

 

이번 글이 어렵게 느껴지신다면 여러분들이 부족한 것이 아니라, 제 학문의 깊이와 글짓기 실력이 부족한 것이니 너그럽게 용서해 주시기 바랍니다.

 

지금부터 아래 최종식을 향해 시작할테니, 천천히 따라오시기 바랍니다.

 

 

상태방정식(equation of state)

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상태방정식은 유체의 열역학적 거동을 기술하는 세 가지 물리적인 양들의 관계를 규정합니다.

 

열역학적 변수는 압력(pressure), 밀도(density), 절대온도(absolute temperature), 엔트로피(entropy) 등이 있습니다.

 

가장 대표적인 상태방정식은 이상기체 상태방정식(ideal gas law)입니다.

 

참고로 이상기체는 밀도가 낮아, 분자 간 평균 거리가 충분히 멀어 분자 위치 에너지를 무시할 수 있는 경우를 의미합니다.

(넘기셔도 됩니다)

 

이상기체 상태방정식은 압력(P), 밀도(ρ), 절대온도(T)의 관계를 나타냅니다.

 

이상기체 상태방정식을 통해, 만약 우리가 이상기체의 압력과 밀도를 알고 있다면 절대온도를 손쉽게 알 수 있습니다.

 

더 나아가, 두 개의 열역학적 변수를 알 수 있다면 모든 열역학적 변수를 알 수 있습니다.

 

이를 상태 가설(state postulate)라고 부릅니다.

 

이상기체 상태방정식(ideal gas law)

 

음향학에서는 압력(P), 밀도(ρ), 그리고 엔트로피(s)의 관계를 나타내는 상태방정식을 이용합니다.

 

다르게 표현하면, 아래 그림과 같이 압력이 밀도와 엔트로피에 의해 결정되는 상태방정식을 이용합니다.

 

음향학은 매질의 아주 작은 교란을 다루기 때문에, 엔트로피의 변화도 매우 작습니다.

 

조금만 더 자세히 말씀드리면, 우리가 귀로 듣는 소리는 매우 작은 압력의 교란(disturbance)입니다.

(본 내용은 선형화에서 자세히 말씀드릴 예정입니다)

 

그리고 엔트로피는 그 음압보다도 더 작은 폭으로 교란합니다.

 

결과적으로 음향학에서 엔트로피의 변화는 매우 매우 작기 때문에, 일반적으로 엔트로피가 일정하다고 여깁니다.

 

또한, 지금 우리는 무손실(lossless) 파동방정식을 유도하고 있기 때문에, 엔트로피는 더욱 일정합니다.

 

따라서, 음향학에서 압력은 밀도만에 의해 결정됩니다.

 

이를 등엔트로피 상태방정식(isentropic equation of state)이라 부릅니다

 

등엔트로피 상태방정식(isentropic equation of state)

 

앞서 언급한 이상기체의 경우, 엔트로피가 일정하면 단열과정(adiabatic gas law)이라 불리며, 아래 식과 같이 기술됩니다.

 

단열과정(adiabatic gas law)

 

위 식은 모양이 단순하여 음향학에 그대로 사용하면 좋지만, 이상기체에만 적용 가능합니다.

 

이상기체가 아닌 일반 유체의 경우 단열과정은 적용할 수 없으며, 더 일반적인 식을 사용해야 합니다.

 

그게 바로 아래에 나와 있는 상태방정식입니다.

 

아래 식은 그림과 같이, 압력과 밀도의 관계를 (ρ-ρo)/ρ_0에 대해 테일러 급수(Taylor series)를 이용하여 전개한 것입니다.

 

이로써, 음향학에서 음향 파동방정식 유도를 위해 필요한 상태방정식을 얻게 되었습니다.

상태방정식(equation of state)

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. 김진연, 권휴상, 김봉기, 이준신, "음향학의 기초" 홍릉과학출판사 (2013)

3. R.E. Sonntag, C. Borgnakke, "Fundamentals of thermodynamics" John Wiley & Sons, New York (2001)