물리 음향학: 음파의 반사와 투과(반사 계수, 투과 계수 유도)

아버지와 낚시를 가던 때가 있었습니다.

 

낚시를 가면 물고기가 저의 목소리를 듣는다며, 아버지는 항상 조용히 하라고 하셨습니다.

 

그때는 그말을 믿고, 꾹 참고 침묵을 유지했었습니다.

 

근데 과연 물고기는 저의 말을 들을 수 있었을까요?

 

조금 더 구체적으로, 공기 중에서 전파되던 음파는 물 안으로 들어갈 수 있었을까요?

 

이번 글에서는 그에 대한 이야기를 해보려 합니다.

 

"음파의 반사와 투과" 오늘의 주제입니다.

 

이번에는 음파의 반사와 투과의 가장 기본이 되는 반사 계수와 투과 계수를 수학적으로 유도해보겠습니다.

 

그런 후에 그 식을 다음 글에서 음미해보시죠.

 

그럼 시작합니다.

 

음파의 반사와 투과 계수(Reflection and Transmission coefficient for acoustic impedance)

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먼저, 반사와 투과가 일어나는 상황을 아래 그림과 같이 상정해보겠습니다.

 

아래 그림은 p^+로 명시된 음파가 매질 1에서 전파하다가, 매질 2를 만나 반사과 투과가 일어나는 상황입니다.

 

단순화를 위해 여러가지 가정이 들어갑니다. 두 매질의 면적은 동일하고, 음파는 1차원(오른쪽, 왼쪽)으로 전파합니다.

(면적이 다른 경우나, 3차원 반사 및 투과는 역시 다음에 다루게 됩니다.)

 

참고로 매질이 다르다는 것은 밀도와 음속이 다르다는 것이고, 결과적으로 임피던스가 다르다는 것입니다.

(이전 글에 이에 관한 글이 있습니다!)

물리 음향학: 음향 특성 임피던스(acoustic characteristic impedance)

 

매질의 경계면에서 입사하는 음파 p^+를 아래 그림의 오른쪽과 같이 수학적으로 정의하였습니다.

 

이를 기준으로 반사파와 투과파를 p^-, p^tr로 정의하고, 역시 수학적을 정의하였습니다.

 

반사파의 경우, 입사파 및 투과파와 방향이 반대이기 때문에 (t+x/c1)으로 나타납니다. 부호가 혼자 반대죠.

 

투과파의 경우, 혼자 매질이 다르기 때문에 음속이 c2가 됩니다.

 

음파의 반사 및 투과 상황 및 수학적 정의

 

위와 같이 주어진 상황에서 반사 계수와 투과 계수를 각각 유도해 보겠습니다.

 

아래 그림은 우선 반사 계수와 투과 계수를 정의한 것입니다.

 

반사 계수는 입사파 대비 반사파를 나타낸 것이고, 투과 계수도 동일하게 나타낸 것입니다.

 

두 계수를 알게 되면, 주어진 상황에서 음파가 어떻게 반사되고 투과되는지 알 수 있습니다

 

어떻게 유도할 수 있을까요?

 

음파의 반사 및 투과 계수 정의

 

두 계수를 유도하기 위해서는 아래 그림과 같이 두 개의 경계 조건(Boundary condition, BC)이 필요합니다.

 

첫 번째는 경계면 양쪽에서 압력이 같아야 한다는 것입니다.

 

만약 다르게 되면, 경계면은 질량이 없기 때문에, 경계면이 무한한 가속도로 움직이게 됩니다.

 

두 번째는 경계면에서 입자 속도가 연속되어야 한다는 것입니다.

 

즉, 왼쪽과 오른쪽의 입자 속도가 같아야 합니다.

 

반사, 투과 계수 유도를 위한 두 가지 경계 조건

 

두 가지 경계 조건을 수학적으로 나타내면 아래 그림과 같이 됩니다.

 

BC1과 BC2를 각각 반사 계수 R과 투과 계수 T로 나타내 봅시다.

 

BC1의 경우, 주어진 경계 조건에서 입사파로 나누어주면 간단히 나옵니다.

 

BC2의 경우, 우선 임피던스를 이용하여 입자 속도를 음압으로 바꾸어 줍니다.

 

여기서 방향을 고려하여, 반사파는 마이너스가 붙는 것에 유의하세요.

 

그리고 나서 BC1과 같이, 입사파로 나누어 주고 임피던스를 오른쪽으로 옮겨 정리해줍니다.

 

마지막으로 BC1의 식과 BC2의 식을 연릭하여 반사 계수와 투과 계수에 대한 식으로 나타내 줍니다.

 

잘 따라 오셨죠?

 

결과적으로 아래 그림 마지막 식과 같이 반사 계수와 투과 계수가 유도되게 됩니다.

반사 및 투과 계수 유도 식

 

반사 계수와 투과 계수를 음미해보면 많은 것을 알 수 있습니다.

 

먼저, 반사 계수와 투과 계수는 오로지 두 매질의 임피던스에 의해 결정되는 것을 위 식에 볼 수 있습니다.

 

다시 말해서, 음파가 반사되고 투과되는 것은 두 매질의 임피던스가 결정함을 알 수 있습니다.

 

그럼, 본 글의 처음으로 돌아가서 공기 중에서 전파하는 음파는 물로 투과될 수 있을까요?

 

반사 계수만 한 번 볼까요?

 

공기의 임피던스는 428 rayls, 물의 임피던스는 1.48*10^6 rayls 입니다.

 

반사 계수 식에서 Z1에 428을, Z2에 1.48*10^6을 넣으면 0.9994가 나옵니다.

 

그렇다는 것은 입사파의 99.94%가 반사된다는 것입니다.

 

물에서 물고기는 제 목소리를 듣지 못하겠네요.

 

이런 경우를 Rigid wall이라고 합니다.

 

이런 식으로 음파의 반사 및 투과를 각 계수들을 통해 알 수 있습니다.

 

다음 글에서는 이러한 special case들에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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사실 이렇게 간단히 끝나는 것이 아닙니다.

 

공기에서 물로 향하는 경우 투과 계수는 몇이 될까요? 바로 1.994가 나오게 됩니다.

 

그럼 입사파가 두 배가 되어 물로 투괴되는 것일까요?

 

그건 아닙니다. 이것은 경계면에서 음압이 두 배가 되는 것이지 실제로 투과되는 것은 아닙니다.

 

이러한 사실을 알기 위해서는 에너지 관점에서도 살펴보아야 합니다.

 

그건 다음에 말씀드리겠습니다.

 

참으로 마음이 급합니다. 부지런히 해보겠습니다.

 

감사합니다.

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)