물리 음향학: 점성 음향 파동방정식

 

앞서 오랜 시간 동안 음향 파동방정식을 유도하였습니다.

 

지금까지 유도한 음향 파동방정식은 가장 단순한 형태로, 1차원 무손실을 가정하였습니다.

 

실제로 음파가 전파하는 모든 상황에는 손실이 존재하지만, 많은 경우 그 크기가 무시할 정도로 작아 무손실을 가정합니다.

 

하지만 당연하게도 손실이 무시 못할 정도로 크다면, 앞서 유도한 무손실 음향 파동방정식은 사용할 수 없습니다.

 

따라서 앞으로 다양한 종류의 손실이 있는 음향 파동방정식을 소개해 드리려 합니다.

 

 

 

음향 에너지의 손실은 매질의 특성과 매질 내 각종 경계로 인해 발생합니다.

 

매질의 특성에 의한 손실은 대표적으로 점성(viscousity), 열전도(heat conduction), 이완(relaxation)이 있습니다.

 

이들을 앞으로 하나씩 소개해 드릴 예정입니다. 그리고 이번 글은 첫 번째로 점성이 반영된 음향 파동방정식을 소개해 드립니다.

 

 

전체 과정은 일전에 유도했던 방식과 유사합니다.

 

보존법칙들을 통하여 식을 유도하고, 이들을 잘 섞어 파동방정식을 만듭니다.

 

손실이 반영되는 곳은 보존법칙들입니다. 따라서 보존법칙만 잘 바꾸어 주면 다를 것이 하나도 없습니다.

 

본 글에는 음향 파동방정식 유도 중 넘어가는 부분이 많이 있습니다.

 

혹여 아래 과정들이 낯설게 느껴진다면, 음향 파동방정식 유도에 대한 앞선 글들을 한번 음미하고 오시는 것을 추천드립니다.

 

그럼 점성 음향 파동방정식 유도 시작하겠습니다.

 

점성 음향 파동방정식(viscosity acoustic wave equation)

---

점성은 분자들간 충돌에 의한 운동량 확산(momentrum diffusion)으로 발생됩니다.

 

아래 그림에서 윗면은 10 m/s, △y만큼 떨어진 아랫면은 5 m/s로 서로 다른 속도로 움직입니다.

 

윗면과 아랫면의 속도가 다르기 때문에, 분자들의 속도도 위치에 따라 다릅니다.

 

분자들의 속도가 다르다는 것은 운동량이 다르다는 것을 의미합니다.

 

서로 다른 운동량을 가진 분자들이 충돌하면서 운동량이 확산(diffusion)됩니다.

 

밑에 있는 느린 분자들은 빠른 분자들을 느리게 만들 것이고, 반대로 빠른 분자들은 느린 분자들을 빠르게 만들 것입니다.

 

이 과정에서 아래 식과 같이 전단 응력(shear stress)이 발생합니다.

 

전단응력은 거리에 따른 속도의 차이와 전단점성계수(shear viscosity coefficient) 의해 결정됩니다.

 

여기서 전단점성계수는 매질의 특성으로, 분자들의 충돌에 의한 운동량 확산의 척도로 볼 수 있습니다.

 

전단점성계수는 주파수와 압력에 무관하며, 온도에만 의존합니다.

 

점성(viscosity)

점성으로 인하여 발생한 전단응력을 운동량보존법칙에 반영하여 음향 파동방정식을 유도합니다.

 

본 글에서는 점성이 반영된 운동량보존법칙을 유도하지 않습니다.

 

식 유도가 쉽지 않아 향후 음향학 매운맛으로 따로 글을 올릴 예정입니다.

 

점성이 반영된 운동량보존법칙의 결과는 나비에-스톡스 방정식(Navier-Stokes equation)이라고 합니다.

 

아래에 별도의 유도 없이 음향 파동방정식 유도를 위한 세 개의 식을 나타내었습니다.

 

당연하게도 질량보존법칙과 상태방정식은 무손실 때와 동일하며, 운동량보존법칙만 다른 형태를 나타냅니다.

 

점성 파동방정식 유도를 위한 세 개의 식(conservation equations)

운동량보존법칙 식에서 μ는 앞서 언급한 전단점성계수, λ는 팽창점성계수(dilatational viscosity coefficient)입니다.

 

전단점성계수는 측정을 통해 쉽게 얻을 수 있지만, 팽창점성계수는 측정이 어렵습니다.

 

따라서 Stokes's assumption(스토크스 가정?)을 통해 팽창점성계수를 아래 식과 같이 전단점성계수와 체적점성계수(bulk viscosity coefficient)로 나타내 줄 수 있습니다.

 

체적점성계수는 분자의 다른 운동 모드 사이 에너지 전환, 분자 내부적 조건, 구조적 퍼텐셜 에너지 상태 등의 척도입니다.

 

일반적으로 단원자 기체에서는 값이 영이며, 다른 유체에서는 유한한 값을 갖습니다.

 

Stokes's assumption

Stokes's assumption을 이용하여 운동량보존법칙을 아래와 같은 과정으로 비교적 간단하게 나타내어 줍니다.

 

마지막 식에서 V는 점성 수(viscosity number)입니다. 식을 비교적 단순하게 나타내기 위해 사용됩니다.

 

운동량보존법칙 식을 적절하게 수정하였습니다. 이를 이용하여 음향 파동방정식을 유도합니다.

 

운동량보존법칙 식 단순화

 

세 개의 식을 잘 섞어줍니다.

 

질량보존법칙식을 공간에 대해 미분하고, 운동량보존법칙 식을 시간에 대해 미분한 후에 빼줍니다.

 

그리고 상태방정식을 반영하여 식을 완성합니다. 참 쉽죠?

 

그러면 아래 식이 나타납니다.

 

동점성계수(kinetic viscosity coefficient, υ)를 이용하여 최종식을 얻을 수 있습니다.

 

점성 음향 파동방정식(viscosity wave equation)

마지막으로 다양한 매질의 전단점성계수 값을 알려드리겠습니다.

 

표를 통해 일반적으로 기체보다 액체에서 점성이 크게 나타남을 알 수 있습니다.

 

또한 공기(Air)의 점성이 매우 작은 것을 볼 수 있습니다. 이를 통해 일반적인 공기 중 전파는 점성의 영향을 거의 받지 않아 무손실 음향 파동방정식을 사용할 수 있음을 알 수 있습니다.

 

Liquid	Viscosity coefficient
Water(fresh)	0.001
Water(sea)	0.001
Alcohol(ethyl)	0.0012
Caster oil	0.96
Mercury	0.0016
Turpentine	0.0015
Glycerin	1.2

 

Gases	Viscosity coefficient
Air (0 ℃)	0.000017
Air(20 ℃)	0.0000181
Oxygen	0.0002
CO2	0.0000145
Hydrogen	0.0000088
Steam	0.000013

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. 김진연, 권휴상, 김봉기, 이준신, "음향학의 기초" 홍릉과학출판사 (2013)

3. Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen, and David R. Dowling, "Fluid Mechanics Sixth Edition" Academic Press (2016)