물리 음향학: 음파의 반사와 투과(면적 변화의 반사 계수, 투과 계수 유도)

앞선 두 글에서 음파의 반사와 투과는 임피던스에 의해 결정된다고 보여드렸습니다.

 

여기서 임피던스는 매질의 특성을 의미하며, 일반적으로 매질의 밀도와 음속의 곱으로 나타납니다.

 

놀랍게도 여기서 끝이 아닙니다.

 

음파가 일정한 면적으로 이루어진 도관 안에서 전파한다고 상상해 보겠습니다.

 

공기라면 343 m/s의 속도로 쭉쭉 전파를 하겠죠?

 

그러다가 갑자기 면적이 줄어들거나 늘어나면 어떻게 될까요?

 

놀랍게도 임피더스가 급변한 것처럼 반사와 투과가 일어나게 됩니다.

 

오늘은 이에 대한 이야기입니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

면적 변화에 따른 음파의 반사 계수와 투과 계수

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앞선 글과 동일하게 음파의 입사파, 반사파, 그리고 투과파를 각가 +, -, tr로 정의하겠습니다.

 

이전에는 동일한 면적에서 매질이 변했다면, 이번에는 매질은 동일하고 면적이 급격히 달라집니다.

 

아래 그림은 갑자기 면적이 늘어난 상황을 나타낸 것입니다.

 

면적 변화에 따른 음파의 반사 및 투과

 

사실 이 이후는 앞선 글과 완전히 동일합니다.

 

기억하시죠?

 

두 개의 경계조건이 있습니다.

 

하나는 경계면 양쪽에서 압력이 같아야 한다는 것이었죠?

 

이 부분은 앞선 글과 완전히 동일합니다.

 

다른 하나는 경계면에서 입자 속도가 연속되어야 한다는 것입니다.

 

여기서 조금 달라집니다. 이번에는 경계면 왼쪽과 오른쪽의 체적 속도(Volume velocity, m^3/s)가 같아야 합니다.

 

체적 속도는 단위 시간당 특정 표면을 통과하는 유체의 부피를 나타내는 물리량입니다.

 

좀 더 간단히 말씀드리면 입자 속도에 면적을 곱한 것입니다.

 

 

그 이후는 모두 앞선 글과 동일합니다.

 

체적 속도를 면적과 입자 속도로 나타내주고, 여기서 입자 속도를 음압과 임피던스로 나타냅니다.

 

입자 속도는 방향이 있기에, 부호에 유의하는 거 잊지 않으셨죠?

 

임피던스는 동일하니 약분되고, 반사 계수, 투과 계수, 그리고 면적으로 식이 나타나게 됩니다.

 

마지막으로 두 경계 조건으로 나타난 식을 이용하여 음파의 반사 계수와 투과 계수를 나타낼 수 있습니다.

 

참 쉽죠?

 

이전에는 반사 계수와 투과 계수가 임피던스의 식으로 나타났다면, 이번에는 면적으로 나타납니다.

 

면적 변화에 따른 음파의 반사 계수와 투과 계수의 유도

 

간단히 계수들을 음미해 보겠습니다.

 

갑자기 면적이 줄어들면 어떻게 되나요?

 

이는 S1 >> S2로 볼 수 있고, 반사 계수는 1 그리고 투과 계수는 2가 됩니다.

 

오, 이거 어디서 봤죠? 매질의 임피던스가 갑자기 커지는 커질 때(Z1<<Z2)와 동일합니다.

*음파가 공기에서 전파 중에 물이나 고체를 만났을 때

 

전부 반사가 되고, 투과는 전혀 안됩니다.

(투과 계수가 2인데, 왜 제가 투과가 안된다고 할까요? 기억 나시죠? 안 나시면 음향 파워의 반사 및 투과 글을 다시 봐주세요)

 

반대로 면적이 갑자기 커지면 어떻게 될까요?

 

반사 계수는 -1이 되고, 투과 계수는 0이 됩니다.

 

이는 매질의 임피던스가 갑자기 작아질 때와 같습니다.

*음파가 물이나 고체에서 전파 중에 공기를 만났을 때

 

개인적으로 좀 흥미로운 부분이었습니다. 면적이 커졌는데, 음파가 잘 투과되는 게 아니라 전부 반사된다니..

 

직관과 조금 다른 부분이어서 흥미로웠습니다.

 

 

여기서 글을 끝내도 될 것 같습니다만, 조금 아쉽습니다.

 

한걸음만 더 가보겠습니다.

 

지금까지 음파의 반사와 투과를 결정하는 두 가지 상황을 소개해드렸습니다.

 

1. 매질의 임피던스, 2. 면적

 

이 두 가지가 동시에 변하면 어떻게 될까요?

 

아래 그림은 매질과 면적이 동시에 변하는 상황을 나타낸 것입니다.

 

매질과 면적 변화에 따른 음파의 반사 및 투과

 

복잡해 보이지만, 사실 앞선 것들과 전혀 다를 것이 없습니다.

 

두 가지 경계 조건이 있고, 여기서 면적과 임피던스가 다르다는 점만 유의하면 됩니다.

 

두 번째 경계조건인 체적 속도에 대한 식에서, 중간에 임피던스를 약분했었죠?

 

이번에는 임피던스가 달라지니, 약분할 수 없습니다.

 

그것에만 유의하면 Z/S 식이 남게 됩니다.

 

이를 Zac라고 정의하고, 반사 계수와 투과 계수를 정의할 수 있습니다.

 

최종식은 결국 앞선 글과 똑같이 나타나게 됩니다. 신기하죠?

 

여기서 Zac는 음향 임피던스(acoustic impedance)로 불립니다.

 

결과적으로 종합해서 말씀드리면 음파의 반사와 투과는 음향 임피던스로 결정됩니다.

매질과 면적이 변할 때의 반사 계수와 투과 계수 유도

 

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놀랍게도 생각보다 음향 파워 다음 글이 빠르게 나왔습니다.

 

일전에도 말씀드린 것처럼 글을 가볍게 작성하고, 틈틈히 읽으면서 수정해 가려고 합니다.

 

지금도 피식 대학을 보며, 고양이들과 다투며 글을 작성하고 있습니다.

 

아마 많은 수정이 진행될 것 같습니다.

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)