물리 음향학: 음파의 반사와 투과(음향 파워의 반사 계수, 투과 계수 유도)

아래 링크에서 음파의 반사 및 투과 계수를 유도하였습니다.

 

이 글을 읽고 본 글을 읽으시는 것을 추천드립니다. 강력히.

 

아래 링크의 게시글에서 마지막에 이런 말을 했습니다.

 

음파가 공기에서 물로 전파할 때, 음압 투과 계수는 약 2가 됩니다.

 

이 말은 음파가 물에서 그 크기가 두 배로 증폭된다는 의미일까요?

 

당연히 아닙니다.

 

그것을 알기 위해 음향 파워의 반사와 투과 계수를 유도해보려 합니다.

 

그럼 시작합니다.

 

https://opee.tistory.com/95

물리 음향학: 음파의 반사와 투과(반사 계수, 투과 계수 유도)

음향 파워의 반사 및 투과 계수

 

---

 

기존 글과 같이 매질의 경계면에서 입사하는 음파를 p+, 반사파를 p-, 그리고 투과파는 p^tr로 정의하겠습니다.

 

그렇다면, 음향 파워도 동일하게 W+, W-, 그리고 W^tr로 각각 나타낼 수 있습니다.

 

또한, 음향 파워의 반사 계수와 투과 계수도 기존 글과 동일하게 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

 

기존 글을 읽어 보셔야겠죠?

 

(좌) 경계면에서의 음파의 반사 및 투과 (우) 음향 파워의 반사 및 투과 계수 정의

 

이제 본격적으로 각 계수를 차례대로 유도해보겠습니다.

 

아래 그림은 음향 파워의 반사 계수를 향해 가는 여정을 보여주고 있습니다.

 

먼저, 음향 파워는 Intensity와 면적의 내적으로 나타낼 수 있습니다.

 

Intensity는 특정 방향에서 에너지 흐름의 시간 평균을 나타냅니다.

 

Intensity는 음압과 입자속도의 곱으로 나타낼 수 있고, 여기에 임피던스의 정의까지 이용하면 음압과 임피던스로 간단하게 나타낼 수 있습니다.

(아래 그림의 파란색 박스를 봐주세요)

 

다시 반사 계수로 돌아오겠습니다.

 

인텐시티와 면적의 곱에서, 입사파와 반사파의 면적이 같기에 면적 S가 약분되어 사라집니다.

 

반사 계수는 Intensity만의 식이 되고, 이는 Intenstiy의 정의로 음압과 임피던스의 식으로 나타나게 됩니다.

 

여기서 임피던스 또한 입사파와 반사파는 동일하기에, 결국 반사 계수는 음압의 식으로 나타납니다.

 

이제 끝났습니다.

 

앞선 글에서 유도했던 반사 계수를 이용하면, 초록색 박스와 같이 음향 파워의 반사 계수가 나타나게 됩니다.

 

결과적으로 음압의 반사 계수의 제곱이 나오게 되는군요.

 

참 쉽죠?

 

음향 파워 반사 계수 유도

 

위 식을 맛보기 전에 위와 같은 흐름으로 빠르게 음향 파워의 투과 계수도 유도해 보겠습니다.

 

위와 모두 동일하지만, 이번에는 입사파와 투과파의 임피던스가 다르다는 것을 조심해야 합니다.

 

그러면 사실 너무나도 간단하게 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

 

설명이 필요 없죠?

 

음향 파워 투과 계수 유도

 

이제 식을 음미해 보도록 하겠습니다.

 

Z1이 Z2보다 매우 크면 어떻게 되나요?

 

다시 말해 음파가 공기에서 물이나 고체를 만나면 어떻게 되나요?

 

파워 반사 계수는 1이 되고, 파워 투과 계수는 0이 됩니다.

 

오, 음압을 기준으로 봤을 때와 다르군요. 투과되는 에너지가 전혀 없습니다.

 

역시나 임피던스 차이가 크면 오직 반사만 일어나게 됩니다.

 

 

Z1와 Z2가 같으면 어떻게 되나요?

 

파워 반사 계수는 0이 되고, 파워 투과 계수는 1이 됩니다.

 

역시나 임피던스가 같으면 오직 투과만 일어나게 됩니다.

 

 

여기서 하나만 더 보겠습니다.

 

음향 파워의 반사, 투과 계수를 보면 물리 법칙 근본 중 하나인 에너지 보존이 보입니다.

 

파워 반사 계수와 파워 투과 계수를 더해보시겠어요? 놀랍게도 1이 나오게 됩니다.

 

---

오랜만에 교과서를 피고 공부를 하고 블로그를 하니 기분이 좋습니다.

 

최근 회사 일이 많아 공부를 게을리했는데, 틈틈이 좀 해보려 합니다.

 

자주 블로그를 하지 못하지만, 멈추지 않는 게 중요한 게 아닐까 생각해 봅니다.

 

멈추지 않고 글을 조금씩 쌓아보겠습니다.

 

그럼, 다음에 뵙겠습니다.

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)