음향학 매운맛: The parameter B/A(비선형 음향학)

 

이번 음향학 매운맛은 B/A에 대한 불친절한 글입니다.

 

B/A는 비선형 음향학 수업에서 가장 먼저 배우는 것으로, 매우매우 중요한 파라미터입니다.

(일반적으로 "B over A"라고 부릅니다.)

 

B/A를 다루기 위해서는 비선형 음향학에 관한 소개 및 설명이 선행되어야 하지만, 음향학 매운맛이기 때문에 과감하게 생략했습니다.

 

그렇습니다. 저는 게으릅니다.

 

비선형 음향학에 대한 글은 빠른 시일 내에 올리겠습니다.

 

그럼, B/A의 정의와 그 의미에 대해 알아보겠습니다.

 

The parameter B/A(비선형 음향학)

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B/A의 정의는 상태방정식(equation of state)으로부터 알 수 있습니다.

 

상태방정식은 일전에 블로그에서 간단하게 다뤘습니다. (아래 링크 참조)

 

아래 식은 엔트로피가 일정할 때, 밀도 변화에 대한 압력 변화를 테일러 급수(Taylor series)로 확장하여 나타낸 것입니다.

 

아래 식에 B와 A가 보이시나요? 이 둘을 나눈 B/A가 오늘의 주제입니다.

 

상태방정식(equation of state)

 

물리 음향학: 상태방정식(state of equation)

음향 파동방정식을 유도할 때 δρ가 매우 작다고 가정(small-signal approximation)하여, A가 포함된 항을 제외하고 모두 무시하였습니다.

(이에 관한 자세한 내용은 아래 선형화 관련 블로그 글에 있습니다.)

 

이러한 가정은 일반적인 수준에서는 매우 적합합니다.

 

하지만, 로켓이 이륙할 때 혹은 폭발이 발생할 때와 같이 δρ가 매우 크다면 어떻게 될까요? 뒤에 항들을 계속해서 무시할 수 있을까요?

 

안됩니다. 뒷 항을 그냥 무시해버린다면 큰 오류가 발생하게 됩니다.

 

두 번째로 크기가 큰 B가 포함된 항을 반드시 고려해야 합니다.

 

나아가 δρ가 계속 커지면 C가 포함되어 있는 항 또한 무시할 수 없게 됩니다. 하지만, 음향학에서 이러한 일은 흔하지 않습니다.

 

 

이제 더 이상 B를 무시할 수 없으니, 한 번 B가 포함된 항을 살펴보겠습니다.

 

A항과 달리 제곱이 있습니다. 제곱은 아래와 같은 선형(linear)의 정의를 위반합니다.

 

따라서, B가 포함된 항은 비선형(nonlinear)을 나타내며, B는 비선형 항의 계수입니다.

 

이제 B가 무엇인지 알게 되었으니, B/A도 자연스럽게 알 수 있습니다.

 

B/A는 비선형 항의 계수와 선형 항의 계수의 비를 나타낸 것입니다.

 

다시 말해, B/A는 매질의 비선형성의 정도를 의미합니다.

 

비선형 음향학 책에 여러 매질에 대한 B/A 측정값들이 있습니다. B/A 테이블을 보고 매질의 비선형성의 정도를 알 수 있습니다.

 

B/A 테이블은 추후 정리하여 올리겠습니다.

 

물리 음향학: 선형화 및 식 결합 - 음향 파동방정식 유도 마지막

선형 정의

B/A의 중요한 점 중 하나는 음속에 영향을 준다는 것입니다.

 

B/A가 어떻게 음속에 영향을 주는지 알아보겠습니다.

 

음속의 정의에 따라 위 상태방정식을 아래와 같이 나타냅니다.

(음속의 정의 및 유도는 아래 글에 자세히 설명되어 있습니다.)

 

물리 음향학: 음속(sound speed)

음속 정의에 의한 상태방정식

위 식을 음속 c에 대한 식으로 나타낼 것입니다.

 

아래 그림은 그 과정을 자세히 나타내 것입니다.

 

이항 정리(binomial theorem)만 유의하시면 크게 어렵지 않습니다.

 

비선형 음향학 음속

마지막 식을 보면 B/A에 의해 음속이 달라지는 것을 볼 수 있습니다.

 

선형 음향학에서는 음속은 c_0으로 변하지 않지만, 비선형 음향학에서는 B/A에 의해 음속이 변합니다.

 

와우

 

 

한 단계만 더 나아가 보려 합니다.

 

전파 속도는 'first law'에 의해 아래 그림 첫 번째 식과 같이 음속과 입자 속도(u)의 합으로 정의됩니다.

 

음속은 위에 정의한 것과 같이 B/A와 평형 음속(c_0)으로 나타낼 수 있습니다.

 

위에서 구한 음속을 대입하면, 아래 그림과 같이 β를 이용하여 전파 속도를 나타낼 수 있습니다.

 

β는 비선형 계수(coefficient of nonlinearity)로 비선형 음향학 곳곳에 사용되는 아주 중요한 값입니다.

 

만약에 비선형 계수가 매우 작다면 입자 속도에 대해 음속이 c_0으로 일정합니다.

 

하지만, 비선형 계수가 작지 않다면 입자 속도 u에 따라 음속이 상이합니다.

 

입자 속도가 큰 지점은 더욱 빠르게 전파할 것이고, 입자 속도가 작은 지점은 더욱 느리게 전파할 것입니다.

 

이로 인하여 파형이 전파하면서 조금씩 가파르게 됩니다. 이를 waveform steepening이라 부릅니다.

 

Waveform steepening에 관한 글은 추후 자세히 다루겠습니다.

 

비선형 음향학 전파 속도(propagation speed)

 

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여기까지 B/A에 대해 알아보겠습니다.

 

글이 아주 복잡하게 쓰인 것 같아 마음이 좋지 않습니다.

 

최대한 깔끔하고 이해하기 쉽게 쓰려고 하다 보니 글을 자꾸 안 쓰게 되어 일단 저질렀습니다.

 

처음에는 머리에 있는 것을 마구잡이로 쓰고 싶어 블로그를 시작했는데, 저도 모르게 글에 대해 집착을 하게 됩니다.

 

그래서 일단 마음을 비운 채 쓰고 가끔씩 읽으며 수정하기로 하였습니다.

 

쓰고 싶은 내용은 많은데 글재주가 없고 지식이 짧아 속상한 날입니다.

 

감사합니다.

 

오피쓴 올림

 

[참고 문헌]

1. R. T. Beyer, “The parameter B/A,” in Nonlinear Acoustics, edited by M. F. Hamilton and D. T. Blackstock (Acoustical Society of America, New York, 2008), pp. 25–39.