물리 음향학: 음속(sound speed)

 

음속은 말 그대로 음파의 속도를 의미합니다.

 

일반적으로 음파는 공기 중에서 343 m/s, 물에서는 1,481 m/s의 속도로 전파합니다.

 

음향 파동방정식을 유도하던 중에 갑자기 음속이 나와 놀라셨나요?

 

음향 파동방정식을 유도하기 위해서는 음속의 수학적 정의 정도만 알아도 되지만, 그래도 조금 욕심을 내어 음속에 대해 알려드리려 합니다.

 

따라서, 이번 글에서는 음속의 수학적 정의와 그 유도를 함께 진행할 것입니다.

 

앞에 있는 질량보존법칙(continuity equation), 운동량보존법칙(momentum equation)을 간단히 읽고 오시면 매우 도움이 될 것입니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

감사합니다.

 

음속(sound speed)

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제 앞선 글들을 읽고 오셨다면, 음속의 정의를 유도하는 것은 매우 익숙하고 간단한 일입니다.

 

먼저, 아래 그림과 같이 적절한 상황을 설정하겠습니다.

 

평형 상태에 있는 관(duct)이 있습니다. 이 안에는 아무 교란이 없기 때문에, 관 안에 모든 지역에서 압력, 밀도, 온도가 모두 일정합니다.

 

그러다 어느 순간, 피스톤이 아래 그림과 같이 움직였습니다.

 

피스톤의 움직임은 압력, 밀도, 온도, 입자 속도의 작은 변화를 야기하였고, 결과적으로 음파가 생성되어 전파되고 있습니다.

 

이때, 음파의 속도, 음속은 c라고 나타내었습니다.

 

음속 c를 아래 상황에 기반하여, 수학적으로 정의하는 것이 오늘의 목표입니다.

관 안에서 피스톤 움직임으로 인한 음파 생성

음속을 수학적으로 유도하기 위해 음파를 자세히 확대하여 살펴보겠습니다.

 

아래 그림을 통해, 음파가 지나간 곳은 압력, 입자 속도, 밀도, 온도가 각각 작은 크기로 변화한 것을 알 수 있습니다.

 

음속을 향해 수학적으로 진행하기 전에, 편리함을 위해 좌표계를 살짝 바꿔보려고 합니다.

 

본격적으로 좌표계를 살짝 바꾸기 전에, 이해를 돕기 위해 간단한 예시를 말씀드리겠습니다.

 

한번 기차를 타고 창 밖을 바라보는 상상을 해볼까요?

 

기차는 빠르게 달리고 있습니다.

 

기차가 빠르게 앞으로 달려가고 있지만, 우리는 창 밖에 풍경이 뒤로 움직이는 것처럼 보입니다.

 

기차 밖에서 봤을 때는 기차가 앞으로 가지만, 기차 안에서 봤을 때는 풍경이 뒤로 가는 것처럼 보입니다.

 

이와 같이 좌표계를 살짝 바꿔, 음파 위에 올라타 음파가 움직이지 않는 것처럼 보겠습니다.

 

그러면, 아래 그림의 오른쪽처럼 속도의 방향과 크기가 달라질 것입니다.

 

또한, 앞서 보존법칙들에서 했던 것과 같이 음파를 중심으로 아주 얇게 검사체적을 설정해 줍니다.

 

음파로 인한 물리량 변화와 검사 체적

설정한 검사 체적에서 질량보존법칙과 운동량보존법칙을 진행하겠습니다.

 

보존법칙은 검사 체적 내부의 변화는 유출입되는 양에 의해 결정되는 것을 의미합니다.

 

또한, 지금 우리가 세운 좌표계에서는 검사 체적 내부에 변화가 없는 정상 상태(steady state)로 가정할 수 있습니다.

 

즉, 유입되는 양과 유출되는 양이 같다는 것만 수학적으로 나타내면 됩니다.

 

아래 그림은 질량보존법칙 과정을 자세하게 나타낸 것입니다.

 

앞에 글을 읽으셨다면 매우 쉽게 이해하시겠지만, 한 가지 유의할 점이 있습니다.

 

여기서 피스톤에 의한 압력, 밀도, 입자 속도, 온도의 변화량은 매우 작다는 것입니다.

 

다시 말해, dp, dV, dρ, dT는 모두 매우 작은 값입니다.

 

따라서, dVdρ와 같이 작은 값이 곱해지는 것은 더더욱 작은 값일 것입니다.

 

그러므로 질량보존법칙을 진행할 때, dVdρ항은 매우 작은 것으로 간주되어 삭제될 수 있습니다.

 

질량보존법칙(음속 유도)

질량보존법칙을 마쳤으니, 운동량보존법칙으로 넘어가겠습니다.

 

이 또한, 지난 번 글에서 수행했던 것과 매우 유사합니다.

 

아래 그림을 통해, 수학이 진행되는 것을 보시면 됩니다.

 

마지막 부분에 운동량보존법칙에 질량보존법칙을 통해 얻은 식을 대입함으로써, 음속이 유도되는 것을 볼 수 있습니다.

 

이로써, 음속의 유도가 완료되었습니다.

 

운동량보존법칙(음속 유도)

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음속에 대해서는 드릴 말씀이 더 있습니다. 여기에 더 이어가고 싶었지만, 글이 너무 길어져 마무리하였습니다.

 

따라서, 다음 글도 음속에 대한 이야기가 될 듯합니다.

 

무언가를 쉽고 명료하게 설명한다는 것은 매우 어려운 것 같습니다.

 

또한, 제 지식이 띄엄띄엄 있다는 것을 절실히 깨닫습니다.

 

노력하겠습니다.

 

감사합니다.

 

오피 올림

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. Patrick H. Oosthuizen, and William E. Carscallen, "Introduction to compressible fluid flow" CRC Press (2014)