음향학 매운맛: B/A 측정 방법 (thermodynamic method)

 

저번 글에서 B/A는 매질의 비선형성을 나타내는 파라미터라고 불친절하게 설명드렸습니다.

 

 

B/A가 무엇인지 알았으니, 이제는 B/A를 측정하는 방법에 대해 알아볼 차례입니다.

 

B/A 측정 방법은 다양하게 존재하지만 아래 두 가지가 대표적으로 사용됩니다.

 

- Thermodynamc method

- Finite-amplitude method

 

이번 글에서는 B/A 측정 방법 중 thermodynamic method에 대해 알아볼 것입니다.

 

다음 글에서 바로 finite-amplitude method에 대해 말씀드리겠습니다.

 

이번 글도 불친절하고 빠르게 진행하겠습니다.

 

그럼, 시작하겠습니다.

 

비선형 음향학 B/A 측정 방법: thermodynamic method

---

비선형 음향학 B/A

우선적으로 저번 글에서 유도했던 B/A 식을 위에 가져왔습니다. 아주 익숙합니다.

 

위 식에 기반하여 B/A를 실험을 통해 측정하고자 할 수도 있습니다.

 

밀도 ρ_0와 음속 c_0 대부분 알려져 있습니다. 다시 말해, 일반적으로 직접 측정할 필요 없이 우리가 조사하면 알 수 있습니다.

 

그렇다면, 엔트로피가 일정할 때 밀도 변화에 따른 압력 변화만 실험을 통해 알 수 있으면 B/A를 구할 수 있습니다.

 

오, 그럼 이번 글은 끝이네요.

 

흠 사실 그렇지 않습니다.

 

유체의 낮은 압축성(compressibility)으로 인해 위 식을 이용하여 B/A를 측정하는 녹록지 않습니다.

 

그래서 지금부터 열역학에 기반하여 미분식을 실험에 적합하게 바꾸어 줄 것입니다.

 

아래는 미분식 음속 정의를 적절히 섞어 조작한 것입니다.

 

바뀐 미분식을 B/A 식에 반영하여 다시 나타내 보겠습니다.

 

비선형 음향학 B/A 측정을 위한 열역학 기반 식 조작

새롭게 단장한 B/A식이 아래에 있습니다.

 

아래 식을 기반하여 B/A를 실험으로 구할 수 있을까요? 한번 천천히 식을 살펴보겠습니다.

 

앞서 언급한 것과 같이, 밀도와 음속은 많은 실험을 통해 알려져 있습니다.

 

우리가 고려해야 하는 것은 미분식입니다.

 

미분식은 식 정의에 의해 엔트로피가 일정할 때, 압력에 따른 음속의 변화를 측정하면 알 수 있습니다.

 

측정이 가능할까요?

 

네, 가능합니다. 유체에 압력을 다르게 가하면서 음속의 변화를 측정하면 됩니다.

 

또한, 음향학에서 엔트로피는 일정하다고 볼 수 있기에 충분히 가능합니다.

 

열역학에 기반하여 측정을 위해 조작된 B/A 식

하지만, 위 식은 우리의 목적지가 아닙니다.

 

여기서 한 발자국 더 나아가면 더욱 실험이 용이해질 수 있습니다.

 

아래는 미분식을 한번 더 조작하는 과정을 나타낸 것입니다.

 

참 쉽죠?

 

열역학에서 배우는 Maxwell relations와 정압 비열(specific heat at constant pressure, c_p)의 정의를 이용하여 식을 조작한 것입니다.

 

사실 쉽지 않았습니다.

비선형 음향학 B/A 측정을 위한 식 조작2

미분식을 조작하였으니, B/A에 다시 반영해 보겠습니다.

 

식을 바꾸어 넣어준 후, volume coefficient of thermal expansion (α_T)를 이용하여 식을 정리하였습니다.

 

식을 정리하면, 아래와 같은 최종식이 나옵니다.

 

최종식을 이용하면 실험을 통해 B/A를 알 수 있고, 결과적으로 매질의 비선형을 알 수 있습니다.

 

미분항을 제외한 모든 상수들은 많은 연구를 통해 이미 알려져 있어, 두 미분식만 측정해 주면 됩니다.

 

즉, 온도가 일정할 때 압력에 따른 음속, 압력이 일정할 때 온도에 따른 음속을 측정을 통해 알기만 얻기만 B/A를 알 수 있습니다.

 

일반적으로 압력이 일정할 때의 미분식은 많은 연구로 대부분 밝혀져 있습니다.

 

따라서, 온도가 일정할 때의 미분식만 실험을 통해 구하면 B/A를 쉽게 알 수 있습니다.

(실험이 쉽지는 않습니다만,)

 

오늘은 여기까지입니다.

 

측정을 위해 조작된 B/A 최종식

---

비선형 음향학은 수학이 복잡할 뿐 아니라, 열역학에 대해 깊은 이해가 있어야 합니다.

 

그래서 어렵습니다.

 

너무 어렵습니다.

 

그래서 계속 읽고 계속 생각하고 계속 계속합니다.

 

그래도 계속 모릅니다.

 

감사합니다.

 

오피쓴 올림

 

[참고 문헌]

1. R. T. Beyer, “The parameter B/A,” in Nonlinear Acoustics, edited by M. F. Hamilton and D. T. Blackstock (Acoustical Society of America, New York, 2008), pp. 25–39.