음향학 매운맛: 그린 함수(음향 전달함수, Green's function)

 

음향학 매운맛은 조금 불친절하게 느껴지실 수 있습니다.

 

다루는 주제도 어렵지만, 저의 편의를 위해 설명이 생략된 부분이 많습니다.

 

따라서, 본 글이 이해하시기 어려울 수 있습니다.

 

그 책임은 저에게 있으니 언제든 질문해 주시기 바랍니다.

 

최대한 반복적으로 수정하여 덜 맵게 만들겠습니다.

 

감사합니다.

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본 글에서는 그린 함수의 정의와, 그 유용에 대해 다룹니다.

 

(그린 함수는 '음향 전달함수'로도 불립니다. 본 글에서는 음향 용어 사전에 따라 그린 함수라고 부르겠습니다.)

 

그린 함수(Green's function)는 아래와 같은 inhomogeneous Helmholtz equation의 해입니다.

 

음향 파동방정식에서 오른쪽 부분은 소스에 관한 정보이며, 아래 식에서는 Dirac delta 함수가 있습니다.

 

Dirac delta 함수는 지정된 한 점에서만 무한한 값을 가지며, 나머지는 모두 0인 함수를 의미합니다.

 

따라서, 아래 식은 r_0 지점에 점음원(point source)이 존재할 때의 주파수 영역 음향 파동방정식입니다.

 

(Point source: 발생된 음파의 파장과 비교하여 충분히 작아, 한 점에서 음파를 방사하고 있는 것처럼 볼 수 있는 음원. 모든 부분이 같은 위상으로 변화하며 자유 음장에서 모든 방향으로 일정하게 음파를 발생시킨다)

 

이러한 식을 풀어서 해를 구한다는 것은 r_0 지점에 점음원이 있을 때, 임의의 위치에서 음압을 안다는 것입니다.

 

따라서, 그린 함수는 r_0 지점에 점음원이 있을 때, 임의의 위치 r 지점에서의 음압을 의미합니다.

 

이를 다르게 표현하면, 그린 함수는 음원의 위치에서부터 수신자의 위치까지의 관계를 설명해 준다고 할 수 있습니다.

 

이러한 정의 때문에, 그린 함수는 음향학에서의 임펄스 응답(impulse response)으로 여겨집니다.

그린 함수, Green's function(solution of inhomogeneouse Helmholtz equation)

그린 함수의 정의를 알았으니, 성질에 대해 간단히 두 개만 말씀드리겠습니다.

 

그린 함수는 특별해(particular solution)와 일반해(homogeneous solution)로 이루어져 있습니다.

 

특별해는 음원에 의한 것이며, 일반해는 경계조건(boundary condition)에 의한 것입니다.

 

따라서, 자유 음장(free field)과 같이 반사파가 없는 umbounded medium일 경우, 일반해는 0이 됩니다.

 

두 번째 성질은 그린 함수는 가역원리(principle of reciprocity)를 만족한다는 것입니다.

 

가역원리에 의해, 음원과 수신자의 위치를 서로 바꾸어도 그 해는 바뀌지 않습니다.

 

그린 함수 구성, 일반해, 특별해(particular solution, homogeneous solution)

 

가역원리(principle of reciprocity)

지금부터는 그린 함수의 유용성에 대해 말씀드리겠습니다.

 

그린 함수를 이용하면, 아래와 같이 임의의 음원이 존재할 때의 음향 파동방정식을 손쉽게 풀 수 있습니다.

 

다시 말해, 그린 함수를 이용하여 inhomogeneous Helmholtz equation의 해를 간단하게 구할 수 있습니다.

 

그린 함수를 이용하여 아래 식을 풀어보도록 하겠습니다.

 

Inhomogeneous Helmholtz equation

먼저, 풀고자 하는 inhomogeneous Helemholtz equation에 그린 함수를 곱하고, 반대로 그린함수에 관한 식에 음압 p를 곱해 줍니다.

 

그리고 아래 그림 기준으로 위에 식에서 아래 식을 빼주어, 하나의 식으로 만들어 줍니다.

 

두 번째 식에서 r과 r0를 서로 바꿔줍니다. 이때, 그린함수와 Dirac delta 함수는 가역원리로 인해 값이 바뀌지 않습니다.

 

전체 식에 대해서, v0에 대해 부피적분을 해줍니다.

 

그린 함수 식 전개

 

왼쪽 항은 그린 정리(Green's theorem)로 인해 부피 적분이 면 적분으로 바뀔 수 있습니다.

 

그린 정리는 본문에서 따로 유도하지 않지만, 그림에 그 식을 나타내었습니다.

 

그린 함수 식 전개(그린 정리, Green's theorem)

 

우리가 정한 범위 밖에 또 다른 음원이 없다면, 면적분 안에 있는 식들은 삭제될 수 있습니다.

 

따라서, 간단한 모양에 마지막 식이 나오게 됩니다.

 

Solution of inhomogeneous Helmholtz equation using Green's function

최종식을 보면 정말 간단합니다.

 

r에서 음압을 알고 싶으면, 음원 f와 그린 함수 G를 주파수 영역에서 곱해줌으로써 알 수 있습니다.

 

다시 말해, 그린 함수를 알고 음원을 알고 있으면, 주어진 공간 안에서 모든 음압을 알 수 있습니다.

 

조금 더 추가해서 말씀드리면, 그린 함수만 알면 음원을 예측할 수 있기 때문에, 그린 함수를 얻기 위한 실험과 해석에 관한 연구가 정말 많습니다.

 

추후에는 그린 함수가 사용되는 예시를 말씀드리고 싶습니다.

 

불친절한 매운맛 읽기 힘드셨을 텐데, 감사합니다.

 

오피 올림

 

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. Earl G. Williams, "Fourier Acoustics: Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography" Academic Press (1999)

3. Philip M. Morse and K. Uno Ingard, "Theoretical Acoustics" Princetion University Press (1968)