물리 음향학: 선형화 및 식 결합 - 음향 파동방정식 유도 마지막

 

안녕하세요, 오피입니다.

 

이번 글에서 드디어 음향 파동방정식 유도가 완료됩니다.

 

개요부터 질량보존법칙, 운동량보존법칙, 상태방정식 그리고 음속까지 먼 길을 달려왔습니다.

 

대학원 음향학 수업 때, 음향 파동방정식을 유도하는 데 많은 시간을 소요합니다.

 

그리고 시험에 꼭 출제되는 내용입니다.

 

그만큼 음향학에서 중요한 부분입니다.

 

저도 오랜만에 천천히 손으로 유도하면서 식들을 음미하였습니다.

 

파동 방정식 유도의 마지막, 그럼 시작하겠습니다.

음향 파동방정식(acoustic wave equation)

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먼저, 파동방정식 유도 과정의 큰 그림을 다시 한번 보겠습니다.

 

질량보존법칙, 운동량보존법칙, 그리고 상태방정식을 이용하여 3개의 식을 유도하였습니다.

 

본 글은 마무리 단계로써, 3개의 식을 선형화 후 하나의 식으로 결합하는 내용입니다.

 

음향 파동방정식 유도 개요

선형화는 음향학에서 다루는 물리량들이 매우 작다는 것에 기반합니다.

 

대표적으로 음압은 아래 식과 같이, 평형 압력을 기준으로 변동되는 압력을 의미합니다.

 

그리고 그 크기가 매우매우 작습니다.

 

음압 정의

그렇다면, 음압의 크기가 얼마나 작을까요? 하나 예시를 들어보겠습니다.

 

소음과 관련된 뉴스나 기사에서 데시벨(dB)을 많이 보셨을 겁니다.

 

데시벨은 음압을 로그(log)에 기반하여 나타낸 것입니다.

(자세한 것은 추후 블로그를 통해 말씀드리겠습니다)

 

100 dB 정도면 매우 시끄러운 오토바이, 혹은 시끄러운 공장과 같이 매우 높은 소음입니다.

 

100 dB면 매우 높은 소음이고, 음압의 크기가 클 것으로 예상됩니다.

 

실제로 제가 계산을 해봤습니다.

(계산 과정은 생략했습니다. 이것도 추후 말씀드리겠습니다)

 

100 dB면 음압이 2 pa입니다.

 

대기압(1 atm, 101 kpa) 대비 0.0000198, 즉 1.98 x 10^-5입니다. 정말 매우 작죠?

 

밀도는 어떨까요?

 

밀도는 공기의 평형 밀도(1.21kg/m^3) 대비하여 1.40 x 10^-5 입니다.

 

시끄러운 100 dB에서도, 음압의 크기는 매우 매우 작습니다.

 

우리가 평소에 말하는 60-80 dB는 더더욱 음압의 크기가 작을 것입니다.

 

결론적으로, 음향학에서 다루는 음압, 밀도, 입자 속도는 모두 그 크기가 매우 작습니다.

 

이를 수학적으로 아래와 같이 나타냅니다. 그리고 이를 small-signal approximation이라 부릅니다.

 

선형화(small-signal approximation)

이제부터는 앞에서 유도한 각 식을 선형화할 것입니다.

 

아래 그림과 글을 함께 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

먼저, 질량보존법칙으로부터 나온 식을 선형화 하겠습니다.

 

본래 식에는 순간 밀도 값으로 되어 있습니다. 이를 변동 밀도와 평형 밀도로 치환합니다.

 

평형 밀도는 상수이기 때문에, 미분하면 0이 됩니다. 따라서, 미분이 취해진 평형 밀도를 모두 지워 줍니다.

 

앞서 말씀드린 대로 변동 밀도와 입자 속도는 매우 작은 값입니다.

 

그런데, 작은 값에 또 작은 값을 곱하면 어떻게 될까요?

 

0.01에 0.01을 곱하면 0.0001이 되듯이, 더 작아질 것입니다.

 

작은 값에 작은 값을 곱해서, 더 작아진 값들은 상대적으로 매우 작아 무시할 수 있습니다.

 

따라서, 아래 식처럼 작은 값들이 곱해져서 더욱이 작아진 부분을 지워줍니다.

 

그러면, 아래 그림에서 가장 아래에 있는 식이 완성됩니다.

 

질량보존법칙 선형화

이와 같은 방식으로 동일하게 운동량보존법칙과 상태방정식에 적용하겠습니다.

 

운동량보존법칙 선형화 과정은 아래와 같습니다.

 

동일하게 작은 값들이 곱해져 더욱 작아진 값들은 지워줍니다.

 

운동량보존법칙 선형화

상태방정식 선형화는 아래와 같습니다.

 

여기서 A에 대한 설명은 보충해서 다른 글에서 말씀드리겠습니다.

 

상태방정식 선형화

지금까지 유도한 3개의 식을 선형화 하였습니다.

 

이제 정말 마무리 단계입니다. 3개의 식을 잘 섞어서 하나의 식으로 만들어 주면 됩니다.

 

단순합니다.

 

모든 과정은 아래 그림에 나타내었습니다.

 

질량보존법칙과 운동량보존법칙으로부터 나온 식에 각각 시간에 대해, 공간에 대해 미분을 합니다.

 

그리고 두 식을 빼줍니다.

 

마지막으로 선형화 된 상태방정식으로부터 나온 식을 이용하여, 변동 밀도를 압력으로 바꿔줍니다.

 

이로써, 음향 파동방정식이 유도되었습니다.

 

식 결합

[참고 문헌]

1. D. T. Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. 김진연, 권휴상, 김봉기, 이준신, "음향학의 기초" 홍릉과학출판사 (2013)