물리 음향학: 운동량보존법칙(momentum conservation)

 

음향 파동방정식을 유도하기 위한 두 번째 단계는 운동량보존법칙(momentum conservation)을 유도하는 것입니다.

 

가장 단순한 1차원 선형 무손실 파동방정식을 유도하고 있기 때문에, 유체의 비점성 흐름을 다룹니다.

 

따라서 지금부터 유도하는 운동량보존법칙은 오일러 방정식(Euler's equation)으로 불리기도 합니다.

 

운동량(momentum)은 물체의 속도와 질량을 곱한 값으로, 운동상태를 나타내는 물리량입니다.

(운동량=질량x속도)

 

한 번쯤 고등학교 물리 시간에 동그란 물체가 충돌한 후, 물체의 속도를 구하는 문제를 푼 기억이 있을 것입니다.

 

그때 사용한 법칙이 운동량보존법칙입니다.

 

운동량보존법칙은 질량보존법칙과 같이, 그 자체로써 매우 중요한 법칙입니다.

 

 

보존법칙에 대한 일반적인 것들은 이전 글에서 통장 잔고를 예로 설명드렸습니다.

 

가능하시면 아래 글을 가볍게 읽어 보시고 오시는 것을 추천드립니다.

 

전체 과정은 질량보존법칙과 크게 다르지 않습니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

opee.tistory.com/46

물리 음향학: 질량보존법칙(연속방정식, continuity equation)

운동량보존법칙(conservation of momentum, Euler's equation)

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몇 가지 상황들을 가정하면서 본격적으로 운동량보존법칙을 유도하겠습니다.

 

질량보존법칙과 동일한 원형의 단면을 가진 관(duct)을 가져오겠습니다.

 

따라서 아래 그림과 같은 관에 유체가 흐르고 있다고 하겠습니다.

 

그 유체는 밀도가 변화하며 흐르는 압축성 유동으로 가정하겠습니다.

 

그리고 앞서 말씀드린대로 손실이 없는 비점성 유동입니다.

 

검사 체적은 x부터 x+△x까지 입니다.

(검사 체적은 앞선 글에 통장으로 비유하였습니다. 낯선 단어라면 질량보존법칙 글을 봐주시면 됩니다)

 

유체에 작용하는 힘은 일반적으로 물체력(body force)과 표면력(surface force)이 있습니다.

 

물체력의 가장 대표적인 예는 중력입니다.

 

물체력은 음파가 아주 먼 거리를 전파할 때 영향을 미칩니다.

 

반대로 짧은 거리를 전파할 때는 물체력의 영향이 적어 이를 무시할 수 있습니다.

 

따라서 지금 상황에서는 물체력을 무시할 수 있으며 표면력만 고려해줍니다.

 

 

지금까지 세운 가정들을 유의하며, 수학적으로 식으로 표현하면 아래와 같이 나타납니다.

 

검사 체적 내 운동량의 시간에 따른 변화는 검사 체적 표면을 통과하는 운동량의 유출입과 검사 체적 표면에 작용하는 힘에 의해 결정됨을 나타낸 것입니다.

 

말이 어렵지만 질량보존법칙에서 표현한 통장 잔고와 같은 맥락입니다.

 

또한 아래 그림을 보시면 비교적 쉽게 이해할 수 있으실 것입니다.

 

ρuS△x는 검사 체적 내 운동량을 의미합니다. 여기에 시간에 대한 미분을 붙여, 시간에 따른 운동량 변화를 수학적으로 나타냈습니다.

 

ρ(u^2)S는 단위 시간당 운동량을 의미합니다. 유입된 만큼 더해주고, 유출된 만큼 빼주었습니다.

 

PS는 검사 체적 표면에 작용하는 힘입니다. 힘의 방향에 맞추어 부호를 설정하였습니다.

 

 

적절한 상황을 세우고 수학적으로 알맞게 식을 세우셨다면, 그다음부터는 역시나 단순한 수학입니다.

 

아래 그림을 통해 설명드리겠습니다.

 

운동량보존법칙(수학 전개)

[첫 번째 식 → 두 번째 식]

- 면적 S와 검사 체적 거리 △x는 일정한 상수이기 때문에, 미분과 상관없이 자유롭게 움직일 수 있습니다.

  따라서 S는 모든 항에 있으므로 약분하고, △x는 왼쪽 항으로 이항합니다.

 

[두 번째 식 → 세 번째 식]

- 검사 체적 거리 △x를 한 지점처럼 만들기 위해, 0에 가까워지게 합니다.

  그러면 미분의 정의와 같은 꼴이 나오게 됩니다.

  ρ(u^2)와 P가 x에 대해 미분되는 모양이 됩니다.

 

[세 번째 식 → 네 번째 식]

- 미분 안에 있는 ρu와 ρ(u^2)를 전개해 줍니다.

  ρu는 ρ와 u에 각각 미분을 해주어 전개하며, ρ(u^2)는 ρu와 u에 각각 미분을 해주어 전개합니다.

 그러면 3개 항으로 이루어진 식이, 6개의 항으로 늘어나게 됩니다.

 여기서 아래 그림과 같이 한 단계만 더 거치면, 운동량보존법칙에 도달할 수 있습니다.

 

운동량보존법칙(질량보존법칙, 연속체 방정식 부분 제거)

이전 글에서 질량보존법칙을 보셨다면 전개한 식에서 익숙한 부분이 보일 것입니다.

 

위 그림에서 빨간색으로 나타낸 부분은 질량보존법칙(연속체 방정식)과 같은 모습을 나타내고 있습니다.

 

질량보존법칙에 따르면 저 식은 0과 같습니다.

 

그러니 위에 긴 식에서 제거 가능합니다.

 

질량보존법칙 부분을 제거하면 위 그림과 같이 운동량보존법칙을 나타내는 최종식이 나타납니다.

 

이로써 운동량보존법칙 유도를 완료하였습니다.

 

다음은 음향 파동방정식 유도를 위한 3번째 단계로, 상태방정식에 대해 알아보겠습니다.

 

감사합니다.

 

오피 올림

 

[참고 문헌]

1. D.T.Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. 김진연, 권휴상, 김봉기, 이준신, "음향학의 기초" 홍릉과학출판사 (2013)

1차원 선형 무손실 파동방정식을 유도하고 있기 때문에, 유체의 비점성 흐름을 다루게 됩니다.

 

따라서, 지금부터 유도하는 운동량보존법칙은 오일러 방정식(Euler's equation)으로 불리기도 합니다.