물리 음향학: 질량보존법칙(연속방정식, continuity equation)

 

음향 파동방정식을 유도하기 위한 첫 번째 단계는 질량보존법칙(mass conservation)을 유도하는 것입니다.

 

질량보존법칙은 연속방정식(continuity equation)으로도 불립니다.

(이에 대한 제 소견은 맨 아래 잡담 부분에 있습니다. 이 부분이 불편한 분은 맨 아래로 오시면 됩니다.)

 

질량보존법칙은 학부 때, 유체역학(fluid mechanics) 강의에서 처음 접했던 것으로 기억납니다.

(아닌가?)

 

유체역학을 강의하시던 교수님께서 질량보존법칙의 중요성을 매우 강조하셨고, 그래서 이에 관한 유도 및 연습문제 풀이를 수없이 반복했던 시간들이 떠오릅니다.

 

이처럼 질량보존법칙은 단순히 음향 파동방정식을 유도하기 위한 수단이 아니라, 그 자체가 매우 중요한 법칙입니다.

 

그러니 천천히 제 글을 읽어보시고 질량보존법칙을 음미하셨으면 좋겠습니다.

 

약간의 수학이 있으나, 너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

질량보존법칙(연속방정식, continuity equation)

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보존법칙은 정해진 검사 체적(control volume, CV) 안에서 물리량이 보존됨을 의미합니다.

 

좀 더 자세히 말하면, 정해진 검사 체적 안에서 물리량은 오직 검사 체적 표면을 통해 유출입 되는 양에 의해 변합니다.

 

조금 말이 어렵나요?

 

직관적인 이해를 위해, 쉬운 예를 들어보겠습니다.

 

지도교수님께서 물리 음향학 수업 시간에 보존 법칙을 통장 잔고에 빗대어 설명해주십니다.

(저는 통장 잔고보다 좋은 예를 찾지 못했습니다.)

 

통장을 검사 체적으로 설정하고, 그 잔고를 생각해봅시다.

 

우리의 통장 잔고는 수입과 지출이 없다면 항상 보존되어 있습니다.

 

통장 잔고가 시간에 따라 달라지는 것은, 아래 그림과 같이 수입과 지출이 있을 때뿐입니다.

 

수입이 있으면 통장 잔고는 시간에 따라 증가할 것이고, 지출이 있으면 통장 잔고는 줄어들 것입니다.

 

이것이 보존법칙입니다. 여기서 돈을 질량으로만 바꿔주면 질량보존법칙이 됩니다.

 

더 나아가, 돈을 운동량으로 바꾸면 운동량보존법칙, 에너지로 바꾸면 에너지보존법칙이 됩니다.

 

참 쉽죠?

 

보존 법칙 예: 통잔 잔고

아래 그림을 이용해서 본격적으로 질량보존법칙을 유도하겠습니다.

 

먼저 몇 가지 적절한 가정을 하겠습니다.

 

원형의 단면을 가진 관(duct)에 유체가 흐른다고 가정하겠습니다.

 

그리고 그 유체의 흐름은 압축성 유동으로 가정하겠습니다.

 

압축성 유동이란 유체의 밀도가 변화하며 흐르는 것을 의미합니다.

 

다시 말해 밀도가 일정한 상수가 아니며, 시간과 공간에 따라 변화합니다.

 

앞서 말씀드린, 통장으로 비유된 검사 체적은 관의 일부 중 x부터 x+△x까지 입니다.

 

 

위와 같은 가정들을 유의하며, 검사 체적 내부 질량 변화는 검사 체적 표면을 통한 유출입으로 결정됨을 수학식으로 나타내 주면 됩니다.

 

그것이 아래 그림에 있는 식입니다.

 

혹시, ρuS와 Sρ△x가 혼란스러우신가요?

 

천천히, 단위들을 곱해보시면 쉽게 알 수 있습니다.

 

ρuS는 kg/s 단위 시간당 질량을 의미하며, Sρ△x는 kg 질량을 의미합니다.

 

또한 시간에 따른 변화를 미분을 사용하여 나타내었습니다.

 

질량보존법칙(연속체 방정식, continuity equation) 유도(가정 및 식 세우기)

적절한 상황을 가정하고 알맞게 식을 세우셨다면, 그다음부터는 단순한 수학입니다.

 

아래 그림과 함께 설명드리겠습니다.

 

[첫 번째 식 → 두 번째 식]

- 면적 S와 거리 △x는 일정한 상수이기 때문에, 미분 안에 있어도 움직일 수 있습니다.

따라서 S는 모든 항에 있으므로 약분하고, △x는 왼쪽 항으로 이항 하였습니다.

 

[두 번째 식 → 세 번째 식]

- 거리 △x를 한 지점처럼 만들기 위해, 0에 가까워지게 하겠습니다.

그러면 고등학교 수학 시간에 배우는 미분의 정의 꼴이 나옵니다.

즉 오른쪽 식의 ρu가 x에 대해 미분되는 모양이 됩니다.

이로써 질량보존법칙(엄밀하게는 연속체 방정식)이 유도되었습니다.

흔히 볼 수 있는 가장 일반적인 모습입니다.

 

[세 번째 식 → 네번째 식]

- 세번째 식으로 유도는 끝났지만 추후 파동 방정식 유도에서 편하게 사용하기 위해, 한번 더 전개를 해줍니다.

밀도에 한번, 입자 속도에 한번 미분을 해줍니다.

그러면 본문 가장 위에 있는 식과 같은 모습이 됩니다.

끝입니다.

질량보존법칙(연속체 방정식, continuity equation) 수학 전개

 

이로써 질량보존법칙을 유도 완료하였습니다.

 

제가 부족하여 편안하게 보셨을지 모르겠습니다.

 

저도 지속적으로 읽으며 수정을 거듭해 나가겠습니다.

 

다음은 음향 파동방정식 유도를 위한 2번째 단계로, 운동량보존법칙을 유도하겠습니다.

 

감사합니다.

 

[참고 문헌]

1. D.T.Blackstock, "Fundamental of Physical Acoustics" John Wiley & Sons, New York (2000)

2. 김진연, 권휴상, 김봉기, 이준신, "음향학의 기초" 홍릉과학출판사 (2013)

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본문에 넣고 싶지만, 넣으면 글이 복잡해져서 넣지 못한 말:

<1> 엄격하게는 질량보존법칙이 더 큰 의미로, 연속방정식은 한 지점 혹은 영역 내의 질량보존법칙을 의미하는 것으로 알고 있습니다. 따라서 본 글에서는 다루는 것은 연속방정식에 가까우나, 글을 읽으시는 분의 직관적인 이해를 위해 질량보존법칙이라 제목을 적고 지속적으로 언급하고 있습니다.

<2> 글씨체 바꿔봤습니다. 전문적으로 보이는 글씨체군요