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기타: 섭동론(perturbation theory)오피쓴의 음향학라이프/기타 2021. 9. 10. 17:03
섭동론(perturbation theory)은 어렵습니다.
음향학에서 섭동론은 중요하지만 어렵습니다.
하지만, 교수님께서 너무나도 쉽게 섭동론의 컨셉을 설명해 주셔서 대략적으로 이해하고 있습니다.
오늘 교수님의 설명을 그대로 옮겨보려 합니다.
(사실, 몇 번이나 설명을 들었는데 자꾸 까먹어 정리합니다.)여러분들도 이 글을 보시고 섭동론의 대략적인 느낌을 아셨으면 좋겠습니다.
그럼, 시작합니다.
섭동론(perturbatio theory)
교수님의 명쾌한 설명을 말씀드리기 전에, 제가 이해한 바를 살짝 적어보겠습니다.
섭동론은 해(solution)를 찾을 때, 큰 놈부터 맞추고, 조금 더 작은 놈 맞추고, 더 작은 놈 맞추고, 이를 반복하는 것입니다.
만약에 답이 1,234.5678(천이백삼십사 점 오육칠팔)이라고 합시다.
그러면 먼저, 천(10^3)의 자리부터 맞춥니다. 그러면 오차가 234.5678입니다.
그리고 백(10^2)의 자리를 맞춥니다. 이제 오차가 34.5678로 줄었습니다.
십(10^1)의 자리를 맞춥니다. 오차는 4.5678로 계속 작아집니다.
이를 반복할수록, 오차는 작아집니다.
오차가 충분히 작다고 여겨질때까지, 위 과정을 반복해주면 됩니다.
조금 느낌이 오나요?
역시 제 설명보다는 교수님의 설명을 좋을 듯합니다.
백문불여일견(百聞不如一見)이니, 섭동론으로 아래 방정식을 풀어보겠습니다.
아래 방정식에서 ε은 매우 매우 작은 값입니다.
섭동론으로 풀 방정식 방정식을 풀기 위해, 먼저 x를 아래와 같이 나타내 줍니다.
이게 중요한 것입니다.
x를 크기의 순서로 나타낸 것입니다.
앞의 예를 빌려오면, 1234.5678을 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007+0.0008 이런 식으로 풀어준 것입니다.
해를 섭동론으로 나타낸 것 이 것만으로 거의 끝났습니다.
크기별로 나타낸 x를 풀고자 하는 방정식에 넣어줍니다.
x0, x1, x2, x3으로 이어지는 모든 값을 방정식에 대입해주면, 위 예와 같이 오차는 줄어들겠지만, 손으로 풀기 힘듭니다.
그래서 우리는 x1항까지만 방정식에 대입하겠습니다.
자세한 계산을 제가 아래에 해두었습니다.
참 쉽죠?
섭동론 해 대입 여기가 또 중요합니다.
대입한 식에서, 크기가 비슷한 놈들끼리만 분류해야 합니다.
먼저, 위 식에서 가장 큰 놈들만 따로 빼줍시다.
(아래 식에서 O(1)이 가장 큰 놈들을 의미합니다.)
그러면 아래와 같이 x0의 값이 나옵니다. 위 예와 비교해보면 천(10^3)의 자리를 알아낸 것입니다.
그리고 하나 작은 놈들끼리 또 빼줍니다. 쉽게 x1을 얻을 수 있습니다.
(위와 동일하게 O(ε)이 하나 작은 놈들입니다.)
x0와 x1을 구했습니다.
x1항까지만 보기로 했으니, 끝났습니다.
참 쉽죠?
섭동론으로 해 구하기 끝 이제, 답이 맞았는지 확인해봐야겠죠?
2차 방정식을 푸는 방법은 간단합니다.
근의 공식(quadratic formula)과 이항 정리(binomial theorem)만 살짝 써주면 됩니다.
해를 구하기 위한 모든 과정은 아래 그림에 나타내었습니다.
방정식 해 구하기(근의 공식, 이항 정리) 오호, 보이시나요?
섭동론을 이용한 것과, 근의 공식+이항 정리를 이용한 답이 같습니다.
여기까지입니다.
직접 섭동론을 이용하여 방정식을 풀어보니, 대략적인 섭동론의 컨셉이 이해가 되시나요?
"해를 크기별로 나누고, 큰 것부터 맞춘다." 그리고 "크기가 비슷한 것들끼리 분류한다"
이 정도입니다.
[출처]
1. 연세대학교 엄원석 교수님